{
    "keywords": "2010-2022_Math_II_Fill-in-the-Blank",
    "example": [
        {
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "question": "13. (5 分) 圆心在原点上与直线 $x+y-2=0$ 相切的圆的方程为\n",
            "answer": "$x^{2}+y^{2}=2$\n",
            "analysis": "解: 圆心到直线的距离: $r=\\frac{2}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{2}$, 所求圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=2$.\n\n故答案为: $x^{2}+y^{2}=2$\n",
            "index": 0,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "question": "14. (5 分）设函数 $\\mathrm{y}=\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 为区间 $(0,1]$ 上的图象是连续不断的一条曲线, 且恒有 $0 \\leqslant f(x) \\leqslant 1$, 可以用随机模拟方法计算由曲线 $y=f(x)$ 及直线 $x=0$, $x=1, y=0$ 所围成部分的面积 $S$, 先产生两组（每组 $N$ 个），区间（0, 1]上的 均匀随机数 $x_{1}, x_{2}, \\ldots, x_{n}$ 和 $y_{1}, y_{2}, \\ldots, y_{n}$, 由此得到 $N$ 个点 $(x, y)(i-1$ , 2..., $N \\mathrm{~ . ~ 再 数 出 其 中 满 足 ~} y_{1} \\leqslant f(x) \\quad(i=1,2 \\ldots, N)$ 的点数 $N_{1}$, 那么由 随机模拟方法可得 $\\mathrm{S}$ 的近似值为\n",
            "answer": "$\\frac{\\mathrm{N}_{1}}{\\mathrm{~N}}$\n",
            "analysis": "解: $\\because \\int_{0}{ }^{1} f(x) d x$ 的几何意义是函数 $f(x)$ (其中 $0 \\leqslant f(x) \\leqslant 1$ ) 的图象与 $x$ 轴、直线 $x=0$ 和直线 $x=1$ 所围成图形的面积,\n\n$\\therefore$ 根据几何概型易知 $\\int_{0}^{1} \\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\mathrm{dx} \\approx \\frac{\\mathrm{N}_{1}}{\\mathrm{~N}}$.\n\n故答案为: $\\frac{\\mathrm{N}_{1}}{\\mathrm{~N}}$.\n",
            "index": 1,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "question": "15. （5 分) 一个几何体的正视图为一个三角形, 则这个几何体可能是下列几何 体中的 (填入所有可能的几何体前的编号) (1)三棱锥(2)四棱雉(3)三棱 柱(4)四棱柱(5)圆雉66圆柱.\n",
            "answer": "(1)(2)(3)(5)\n",
            "analysis": "解: 一个几何体的正视图为一个三角形, 显然(1)(2)(5)正确; (3)是三棱柱 放倒时也正确;\n\n(4)(6)不论怎样放置正视图都不会是三角形;\n\n故答案为: (1)(2)(3)(5)\n",
            "index": 2,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "question": "16. (5 分) 在 $\\triangle A B C$ 中, $D$ 为 $B C$ 边上一点, $B C=3 B D, A D=\\sqrt{2}, \\angle A D B=135^{\\circ}$. 若 $A C=\\sqrt{2} A B$, 则 $B D=$\n",
            "answer": "$2+\\sqrt{5}$\n",
            "analysis": "用余弦定理求得\n\n$A B^{2}=B^{2}+A D^{2}-2 A D \\cdot B D \\cos 135^{\\circ}$\n\n$A C^{2}=C D^{2}+A D^{2}-2 A D \\cdot C D \\cos 45^{\\circ}$\n\n即 $A B^{2}=B D^{2}+2+2 B D$ (1) $A C^{2}=C D^{2}+2-2 C D$\n\n又 $B C=3 B D$\n\n所以 $C D=2 B D$\n\n所以 由（2）得 $A C^{2}=4 B D^{2}+2-4 B D$ （3）\n\n因为 $A C=\\sqrt{2} A B$\n\n所以 由 (3) 得 $2 A B^{2}=4 B D^{2}+2-4 B D \\quad(4)$\n\n$(4)-2(1)$\n\n$B D^{2}-4 B D-1=0$\n\n求得 $\\mathrm{BD}=2+\\sqrt{5}$\n\n故答案为: $2+\\sqrt{5}$\n",
            "index": 3,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "question": "13. (5 分) 已知 $a$ 与 $b$ 为两个垂直的单位向量, $k$ 为实数, 若向量 $\\vec{a}+\\vec{b}$ 与向量 $k$ $\\vec{a}-\\vec{b}$ 垂直，则 $k=$\n",
            "answer": "1\n",
            "analysis": "解： $\\because \\vec{a} \\perp \\vec{b}$\n\n$\\therefore \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=0$\n\n$\\because \\vec{a}+\\vec{b}$ 与 $k \\vec{a}-\\vec{b}$ 垂直\n\n$\\therefore(\\vec{a}+\\vec{b}) \\cdot(k \\vec{a}-\\vec{b})=0$\n\n即 $k \\vec{a}^{2}+k \\vec{a} \\cdot b-\\vec{a} \\cdot \\vec{b}-\\vec{b}^{2}=0$\n\n$\\therefore \\mathrm{k}=1$\n\n故答案为: 1\n",
            "index": 4,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "question": "15. (5 分) $\\triangle A B C$ 中, $\\angle B=120^{\\circ}, A C=7, A B=5$, 则 $\\triangle A B C$ 的面积为\n",
            "answer": "$\\frac{15 \\sqrt{3}}{4}$\n",
            "analysis": "解: 由余弦定理可知 $\\cos B=\\frac{25+B C^{2}-49}{2 * B C * 5}=-\\frac{1}{2}$, 求得 $B C=-8$ 或 3 (舍负)\n\n$\\therefore \\triangle A B C$ 的面积为 $\\frac{1}{2} \\cdot A B \\cdot B C \\cdot \\sin B=\\frac{1}{2} \\times 5 \\times 3 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{15 \\sqrt{3}}{4}$ 故答案为: $\\frac{15 \\sqrt{3}}{4}$\n",
            "index": 5,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "question": "16. (5 分) 已知两个圆雉有公共底面, 且两个圆雉的顶点和底面的圆周都在同 一个球面上, 若圆雉底面面积是这个球面面积的 $\\frac{3}{16}$, 则这两个圆雉中, 体积 较小者的高与体积较大者的高的比值为\n",
            "answer": "$\\frac{1}{3}$\n",
            "analysis": "解: 不妨设球的半径为: 4; 球的表面积为: $64 \\pi$, 圆雉的底面积为: $12 \\pi$ , 圆锥的底面半径为: $2 \\sqrt{3}$;\n\n由几何体的特征知球心到圆雉底面的距离, 求的半径以及圆雉底面的半径三者可\n\n以构成一个直角三角形\n\n由此可以求得球心到圆雉底面的距离是 $\\sqrt{4^{2}-(2 \\sqrt{3})^{2}}=2$,\n\n所以圆雉体积较小者的高为: 4- $2=2$, 同理可得圆雉体积较大者的高为: $4+2=6$; 所以这两个圆雉中, 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为: $\\frac{1}{3}$.\n\n故答案为: $\\frac{1}{3}$\n",
            "index": 6,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "question": "13. (5 分) 曲线 $y=x(3 \\ln x+1)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为__.\n",
            "answer": "$y=4 x-3$\n",
            "analysis": "解：求导函数, 可得 $y^{\\prime}=3 \\ln x+4$,\n\n当 $x=1$ 时, $y^{\\prime}=4$,\n\n$\\therefore$ 曲线 $y=x(3 \\ln x+1)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为 $y-1=4(x-1)$, 即 $y=4 x-3$ 故答案为: $y=4 x-3$.\n",
            "index": 7,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "question": "14. (5 分) 等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{3}+3 S_{2}=0$, 则公比 $q=$\n",
            "answer": "-2\n",
            "analysis": "解：由题意可得, $q \\neq 1$\n\n$\\because \\mathrm{S}_{3}+3 \\mathrm{~S}_{2}=0$\n\n$\\therefore \\frac{a_{1}\\left(1-q^{3}\\right)}{1-q}+\\frac{3 a_{1}\\left(1-q^{2}\\right)}{1-q}=0$\n\n$\\therefore q^{3}+3 q^{2}-4=0$\n\n$\\therefore(q-1)(q+2)^{2}=0$\n\n$\\because q \\neq 1$\n\n$\\therefore q=-2$\n\n故答案为: -2\n",
            "index": 8,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "question": "15. (5 分) 已知向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 夹角为 $45^{\\circ}$, 且 $|\\vec{a}|=1,|2 \\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{10}$, 则 $|\\vec{b}|=$.\n",
            "answer": "$3 \\sqrt{2}$\n",
            "analysis": "解: $\\because<\\overrightarrow{\\mathrm{a}}, \\overrightarrow{\\mathrm{b}}>=45^{\\circ},|\\overrightarrow{\\mathrm{a}}|=1$\n\n$\\therefore \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos 45^{\\circ}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}|\\vec{b}|$\n\n$\\therefore|2 \\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{(2 \\vec{a}-\\vec{b})^{2}}=\\sqrt{4 \\vec{a}^{2}-4 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+\\vec{b}^{2}}=\\sqrt{4-2 \\sqrt{2}|\\vec{b}|+|\\vec{b}|^{2}}=\\sqrt{10}$\n\n解得 $|\\vec{b}|=3 \\sqrt{2}$\n\n故答案为: $3 \\sqrt{2}$\n",
            "index": 9,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "question": "16. (5 分) 设函数 $f(x)=\\frac{(x+1)^{2}+\\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值为 $M$, 最小值为 $m$, 则 $M+m=$\n",
            "answer": "2\n",
            "analysis": "解: 函数可化为 $f(x)=\\frac{(x+1)^{2}+\\sin x}{x^{2}+1}=1+\\frac{2 x+\\sin x}{x^{2}+1}$,\n\n令 $g(x)=\\frac{2 x+\\sin x}{x^{2}+1}$, 则 $g(x)=\\frac{2 x+\\sin x}{x^{2}+1}$ 为奇函数,\n\n$\\therefore \\mathrm{g}(\\mathrm{x})=\\frac{2 x+\\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值与最小值的和为 0 .\n\n$\\therefore$ 函数 $f(x)=\\frac{(x+1)^{2}+\\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值与最小值的和为 $1+1+0=2$. 即 $M+m=2$.\n\n故答案为: 2 .\n",
            "index": 10,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "13. (5 分) 已知两个单位向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\\circ}, \\vec{c}=t \\vec{a}+(1-t) \\vec{b}$. 若 $\\vec{b} \\bullet \\vec{c}=0$, 则 $t=$\n",
            "answer": "2\n",
            "analysis": "解: $\\because \\vec{c}=t \\vec{a}+(1-t) \\vec{b}, \\vec{c} \\cdot \\vec{b}=0, \\quad \\therefore \\vec{c} \\cdot \\vec{b}=t \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+(1-t) \\vec{b}^{2}=0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{t} \\cos 60^{\\circ}+1-t=0, \\therefore 1-\\frac{1}{2} t=0$, 解得 $t=2$.\n\n故答案为: 2 .\n",
            "index": 11,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "15. (5 分) 已知 $H$ 是球 $O$ 的直径 $A B$ 上一点, $A H: H B=1: 2, A B \\perp$ 平面 $\\alpha, H$ 为垂足, $\\alpha$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $\\pi$, 则球 $O$ 的表面积为\n",
            "answer": "$\\frac{9 \\pi}{2}$.\n",
            "analysis": "解：设球的半径为 $R, \\because A H: H B=1: 2, \\therefore$ 平面 $\\alpha$ 与球心的距离为 $\\frac{1}{3} R$,\n\n$\\because \\alpha$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $\\pi$,\n\n$\\therefore d=\\frac{1}{3} R$ 时, $r=1$,\n\n故由 $R^{2}=r^{2}+d^{2}$ 得 $R^{2}=1^{2}+\\left(\\frac{1}{3} R\\right)^{2}, \\therefore R^{2}=\\frac{9}{8}$\n\n$\\therefore$ 球的表面积 $S=4 \\pi R^{2}=\\frac{9 \\pi}{2}$.\n\n故答案为: $\\frac{9 \\pi}{2}$.\n",
            "index": 12,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "16. (5 分) 设当 $x=\\theta$ 时, 函数 $f(x)=\\sin x-2 \\cos x$ 取得最大值, 则 $\\cos \\theta=$\n",
            "answer": "$-\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$\n",
            "analysis": "解: $f(x)=\\sin x-2 \\cos x=\\sqrt{5}\\left(\\frac{\\sqrt{5}}{5} \\sin x-\\frac{2 \\sqrt{5}}{5} \\cos x\\right)=\\sqrt{5} \\sin (x-\\alpha)$ (其 中 $\\left.\\cos \\alpha=\\frac{\\sqrt{5}}{5}, \\sin \\alpha=\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}\\right)$,\n\n$\\because x=\\theta$ 时, 函数 $f(x)$ 取得最大值,\n\n$\\therefore \\sin (\\theta-\\alpha)=1$, 即 $\\sin \\theta-2 \\cos \\theta=\\sqrt{5}$,\n\n又 $\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1$,\n\n联立得 $(2 \\cos \\theta+\\sqrt{5})^{2}+\\cos ^{2} \\theta=1$, 解得 $\\cos \\theta=-\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$.\n\n故答案为: $-\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$\n",
            "index": 13,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "13. (4 分) 从 $1,2,3,4,5$ 中任意取出两个不同的数, 其和为 5 的概率是\n",
            "answer": "0.2\n",
            "analysis": "解：从 $1,2,3,4,5$ 中任意取出两个不同的数共有 $C_{5}^{2}=10$ 种情况, 和为 5 的有 $(1,4)(2,3)$ 两种情况，\n\n故所求的概率为: $\\frac{2}{10}=0.2$\n\n故答案为: 0.2\n",
            "index": 14,
            "score": 4
        },
        {
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "14. (4 分) 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, E$ 为 $C D$ 的中点, 则 $\\overrightarrow{\\mathrm{AE}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BD}}=$\n",
            "answer": "2\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 已知正方形 $\\mathrm{ABCD}$ 的边长为 $2, E$ 为 $C D$ 的中点, 则 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=0$, 故 $\\overrightarrow{\\mathrm{AE}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BD}}=(\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DE}}) \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{BA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AD}})=\\left(\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}+\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right) \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})=\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}^{2}-\\overrightarrow{\\mathrm{AD}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+$ $\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}^{-}-\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}^{2}=4+0-0-\\frac{1}{2} \\times 4=2$,\n\n故答案为: 2 .\n",
            "index": 15,
            "score": 4
        },
        {
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "16. (4 分) 函数 $y=\\cos (2 x+\\phi) \\quad(-\\pi \\leqslant \\phi<\\pi)$ 的图象向右平移 $\\frac{\\pi}{2}$ 个单位后, 与函数 $y=\\sin \\left(2 x+\\frac{\\pi}{3}\\right)$ 的图象重合, 则 $\\phi=$\n",
            "answer": "$\\frac{5 \\pi}{6}$\n",
            "analysis": "解: 函数 $y=\\cos (2 x+\\phi) \\quad(-\\pi \\leqslant \\phi<\\pi)$ 的图象向右平移 $\\frac{\\pi}{2}$ 个单位后, 得平移后的图象的函数解析式为 $y=\\cos \\left[2\\left(x-\\frac{\\pi}{2}\\right)+\\phi\\right]=\\cos (2 x+\\phi-\\pi)$, 而函数 $y=\\sin \\left(2 x+\\frac{\\pi}{3}\\right)=\\cos \\left(2 x+\\frac{\\pi}{3}-\\frac{\\pi}{2}\\right)$,\n\n由函数 $y=\\cos (2 x+\\phi) \\quad(-\\pi \\leqslant \\phi<\\pi)$ 的图象向右平移 $\\frac{\\pi}{2}$ 个单位后, 与函数 $y=\\sin$ $\\left(2 x+\\frac{\\pi}{3}\\right)$ 的图象重合, 得 $2 x+\\phi-\\pi=2 x+\\frac{\\pi}{3}-\\frac{\\pi}{2}$, 解得: $\\phi=\\frac{5 \\pi}{6}$.\n\n符合 $-\\pi \\leqslant \\phi<\\pi$.\n\n故答案为: $\\frac{5 \\pi}{6}$.\n",
            "index": 16,
            "score": 4
        },
        {
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "13. (5 分) 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本 数学书相邻的概率为\n",
            "answer": "$\\frac{2}{3}$\n",
            "analysis": "解: 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 所有的基 本事件有共有 $\\mathrm{A}_{3}^{3}=6$ 种结果，\n\n其中 2 本数学书相邻的有 (数学 1 , 数学 2 , 语文), (数学 2 , 数学 1 , 语文) , (语文, 数学 1 , 数学 2), (语文, 数学 2 , 数学 1) 共 4 个, 故本数学 书相邻的概率 $\\mathrm{P}=\\frac{4}{6}=\\frac{2}{3}$.\n\n故答案为: $\\frac{2}{3}$.\n",
            "index": 17,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "14.（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时,\n\n甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 $B$ 城市;\n\n乙说：我没去过C 城市;\n\n丙说：我们三人去过同一城市;\n\n由此可判断乙去过的城市为\n",
            "answer": "$A$\n",
            "analysis": "解：由乙说：我没去过 $C$ 城市, 则乙可能去过 $A$ 城市或 $B$ 城市, 但甲说: 我去过的城市比乙多, 但没去过 $B$ 城市, 则乙只能是去过 $A, B$ 中的任 一个\n\n再由丙说：我们三人去过同一城市,\n\n则由此可判断乙去过的城市为 $A$.\n\n故答案为: $A$.\n",
            "index": 18,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "15. (5 分) 设函数 $f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}e^{x-1}, & x<1 \\\\ \\frac{1}{3}, & x \\geqslant 1\\end{array}\\right.$, 则使得 $f(x) \\leqslant 2$ 成立的 $x$ 的取值 范围是\n",
            "answer": "$x \\leqslant 8$\n",
            "analysis": "解: $x<1$ 时, $e^{x-1} \\leqslant 2$,\n\n$\\therefore x \\leqslant \\ln 2+1$\n\n$\\therefore x<1$;\n\n$x \\geqslant 1$ 时,$\\quad x^{\\frac{1}{3}} \\leqslant 2$,\n\n$\\therefore x \\leqslant 8$,\n\n$\\therefore 1 \\leqslant x \\leqslant 8$,\n\n综上，使得 $f(x) \\leqslant 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $x \\leqslant 8$.\n\n故答案为: $x \\leqslant 8$.\n",
            "index": 19,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "13. (5 分) 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中 选择 1 种, 则他们选择相同颜色运动服的概率为\n",
            "answer": "$\\frac{1}{3}$\n",
            "analysis": "解: 所有的选法共有 $3 \\times 3=9$ 种, 而他们选择相同颜色运动服的选法共 有 3 种,\n\n故他们选择相同颜色运动服的概率为 $\\frac{3}{9}=\\frac{1}{3}$,\n\n故答案为: $\\frac{1}{3}$.\n",
            "index": 20,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "14. （5 分) 函数 $f(x)=\\sin (x+\\phi)-2 \\sin \\phi \\cos x$ 的最大值为\n",
            "answer": "1\n",
            "analysis": "解：函数 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})=\\sin (x+\\phi)-2 \\sin \\phi \\cos x$\n\n$=\\sin x \\cos \\phi+\\sin \\phi \\cos x-2 \\sin \\phi \\cos x$\n\n$=\\sin x \\cos \\phi-\\sin \\phi \\cos x$\n\n$=\\sin (x-\\phi) \\leqslant 1$\n\n所以函数的最大值为 1 .\n\n故答案为: 1 .\n",
            "index": 21,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "15. (5 分) 偶函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称, $f(3)=3$, 则 $f(-1)=$\n",
            "answer": "3\n",
            "analysis": "解: 法 1: 因为偶函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $\\mathrm{x}=2$ 对称,\n\n所以 $f(2+x)=f(2-x)=f(x-2)$,\n\n即 $f(x+4)=f(x) ，$\n\n则 $f(-1)=f(-1+4)=f(3)=3$,\n\n法 2: 因为函数 $\\mathrm{y}=\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 的图象关于直线 $\\mathrm{x}=2$ 对称,\n\n所以 $f(1)=f(3)=3$,\n\n因为 $f(x)$ 是偶函数,\n\n所以 $f(-1)=f(1)=3$,\n\n故答案为: 3 .\n",
            "index": 22,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "16. (5 分) 数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{n+1}=\\frac{1}{1-a_{n}}, a_{8}=2$, 则 $a_{1}=$\n",
            "answer": "$\\frac{1}{2}$\n",
            "analysis": "解: 由题意得, $a_{n+1}=\\frac{1}{1-a_{n}}, a_{8}=2$,\n\n令 $n=7$ 代入上式得, $a_{8}=\\frac{1}{1-a_{7}}$, 解得 $a_{7}=\\frac{1}{2}$;\n\n令 $n=6$ 代入得, $a_{7}=\\frac{1}{1-a_{6}}$, 解得 $a_{6}=-1$;\n\n令 $n=5$ 代入得, $a_{6}=\\frac{1}{1-a_{5}}$, 解得 $a_{5}=2$;\n\n..\n\n根据以上结果发现, 求得结果按 $2, \\frac{1}{2},-1$ 循环,\n\n$\\because 8 \\div 3=2 \\ldots 2$, 故 $a_{1}=\\frac{1}{2}$ 故答案为: $\\frac{1}{2}$.\n",
            "index": 23,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "13. (5 分) 在数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 中, $a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}, S_{n}$ 为 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $S_{n}=126$, 则 $n=$\n",
            "answer": "6\n",
            "analysis": "解: $\\because a_{n+1}=2 a_{n}$,\n\n$\\therefore \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=2$\n\n$\\because a_{1}=2$\n\n$\\therefore$ 数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是 $a_{1}=2$ 为首项, 以 2 为公比的等比数列,\n\n$\\therefore S_{n}=\\frac{a_{1}\\left(1-q^{n}\\right)}{1-q}=\\frac{2\\left(1-2^{n}\\right)}{1-2}=2^{n+1}-2=126$,\n\n$\\therefore 2^{n+1}=128$\n\n$\\therefore \\mathrm{n}+1=7$\n\n$\\therefore n=6$.\n\n故答案为: 6\n",
            "index": 24,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "14. （5 分）已知函数 $f(x)=a x^{3}+x+1$ 的图象在点（1，f(1））处的切线过点（ 2, 7）, 则 $a=$\n",
            "answer": "1\n",
            "analysis": "解: 函数 $f(x)=a x^{3}+x+1$ 的导数为: $f^{\\prime}(x)=3 a x^{2}+1, f^{\\prime}(1)=3 a+1$, 而 $f(1)=a+2$\n\n切线方程为: $y-a-2=(3 a+1)(x-1)$, 因为切线方程经过 $(2,7)$,\n\n所以 7- $a-2=(3 a+1)(2-1)$,\n\n解得 $a=1$.\n\n故答案为: 1 .\n",
            "index": 25,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "16. （5 分）已知 $F$ 是双曲线 $C: x^{2}-\\frac{y^{2}}{8}=1$ 的右焦点, $P$ 是 $C$ 的左支上一点, $A($ $0,6 \\sqrt{6})$. 当 $\\triangle A P F$ 周长最小时, 该三角形的面积为\n",
            "answer": "$12 \\sqrt{6}$\n",
            "analysis": "解：由题意, 设 $\\mathrm{F}^{\\prime}$ 是左焦点, 则 $\\triangle A P F$ 周长 $=|\\mathrm{AF}|+|\\mathrm{AP}|+|\\mathrm{PF}|=|\\mathrm{AF}|+|\\mathrm{AP}|+\\left|\\mathrm{PF}^{\\prime}\\right|+2$\n\n$\\geqslant|A F|+\\left|A F^{\\prime}\\right|+2\\left(A, P, F^{\\prime}\\right.$ 三点共线时, 取等号），\n\n直线 $A F^{\\prime}$ 的方程为 $\\frac{x}{-3}+\\frac{y}{6 \\sqrt{6}}=1$ 与 $x^{2}-\\frac{y^{2}}{8}=1$ 联立可得 $y^{2}+6 \\sqrt{6} y-96=0$,\n\n$\\therefore P$ 的纵坐标为 $2 \\sqrt{6}$,\n\n$\\therefore \\triangle \\mathrm{APF}$ 周长最小时, 该三角形的面积为 $\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 6 \\sqrt{6}-\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 2 \\sqrt{6}=12 \\sqrt{6}$.\n\n故答案为: $12 \\sqrt{6}$.\n",
            "index": 26,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "13. (3 分) 已知函数 $f(x)=a x^{3}-2 x$ 的图象过点 $(-1,4)$ 则 $a=$\n",
            "answer": "-2\n",
            "analysis": "解： 根据条件得: $4=-\\mathrm{a}+2$;\n\n$\\therefore a=-2$.\n\n故答案为: -2 .\n",
            "index": 27,
            "score": 3
        },
        {
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "15. (3 分) 已知双曲线过点 $(4, \\sqrt{3})$ 且渐近线方程为 $y= \\pm \\frac{1}{2} x$, 则该双曲线的 标准方程是\n",
            "answer": "$\\frac{1}{4} x^{2}-y^{2}=1$\n",
            "analysis": "解：设双曲线方程为 $y^{2}-\\frac{1}{4} x^{2}=\\lambda$,\n\n代入点 $(4, \\sqrt{3})$, 可得 $3-\\frac{1}{4} \\times 16=\\lambda$,\n\n$\\therefore \\lambda=-1$\n\n$\\therefore$ 双曲线的标准方程是 $\\frac{1}{4} x^{2}-y^{2}=1$.\n\n故答案为: $\\frac{1}{4} x^{2}-y^{2}=1$.\n",
            "index": 28,
            "score": 3
        },
        {
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "16. （3 分）已知曲线 $y=x+\\ln x$ 在点 $\\left(1,1 ）\\right.$ 处的切线与曲线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切，则 $a=$\n",
            "answer": "8\n",
            "analysis": "解: $y=x+\\ln x$ 的导数为 $y^{\\prime}=1+\\frac{1}{x}$,\n\n曲线 $y=x+\\ln x$ 在 $x=1$ 处的切线斜率为 $k=2$,\n\n则曲线 $y=x+\\ln x$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y-1=2 x-2$, 即 $y=2 x-1$.\n\n由于切线与曲线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切,\n\n故 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 可联立 $y=2 x-1$,\n\n得 $a x^{2}+a x+2=0$,\n\n又 $a \\neq 0$, 两线相切有一切点,\n\n所以有 $\\triangle=\\mathrm{a}^{2}-8 a=0$,\n\n解得 $a=8$.\n\n故答案为: 8 .\n",
            "index": 29,
            "score": 3
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "13. (5 分) 设向量 $\\vec{a}=(x, x+1), \\vec{b}=(1,2)$, 且 $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$, 则 $x=$\n",
            "answer": "$-\\frac{2}{3}$\n",
            "analysis": "解: $\\because \\overrightarrow{\\mathrm{a}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{b}}$;\n\n$\\therefore \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=0$\n\n即 $x+2(x+1)=0$;\n\n$\\therefore x=-\\frac{2}{3}$.\n\n故答案为: $-\\frac{2}{3}$.\n",
            "index": 30,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "14. （5 分）已知 $\\theta$ 是第四象限角, 且 $\\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{3}{5}$, 则 $\\tan \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{4}\\right)=$\n",
            "answer": "$-\\frac{4}{3}$\n",
            "analysis": "解: $\\because \\theta$ 是第四象限角,\n\n$\\therefore-\\frac{\\pi}{2}+2 k \\pi<\\theta<2 k \\pi$, 则 $-\\frac{\\pi}{4}+2 k \\pi<\\theta+\\frac{\\pi}{4}<\\frac{\\pi}{4}+2 k \\pi, k \\in Z$,\n\n又 $\\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{3}{5}$,\n\n$\\therefore \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\sqrt{1-\\sin ^{2}\\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)}=\\sqrt{1-\\left(\\frac{3}{5}\\right)^{2}}=\\frac{4}{5}$.\n\n$\\therefore \\cos \\left(\\frac{\\pi}{4}-\\theta\\right)=\\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{3}{5}, \\sin \\left(\\frac{\\pi}{4}-\\theta\\right)=\\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{4}{5}$.\n\n则 $\\tan \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\tan \\left(\\frac{\\pi}{4}-\\theta\\right)=-\\frac{\\sin \\left(\\frac{\\pi}{4}-\\theta\\right)}{\\cos \\left(\\frac{\\pi}{4}-\\theta\\right)}=-\\frac{\\frac{4}{5}}{\\frac{3}{5}}=-\\frac{4}{3}$.\n\n故答案为: $-\\frac{4}{3}$.\n",
            "index": 31,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "15. （5 分）设直线 $y=x+2 a$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 a y-2=0$ 相交于 $A, B$ 两点, 若 $|A B|=2$ $\\sqrt{3}$, 则圆 $C$ 的面积为\n",
            "answer": "$4 \\pi$\n",
            "analysis": "解: 圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 a y-2=0$ 的圆心坐标为 $(0, a)$, 半径为 $\\sqrt{a^{2}+2}$,\n\n$\\because$ 直线 $y=x+2 a$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 a y-2=0$ 相交于 $A, B$ 两点, 且 $|A B|=2 \\sqrt{3}$,\n\n$\\therefore$ 圆心 $(0, a)$ 到直线 $\\mathrm{y}=\\mathrm{x}+2 \\mathrm{a}$ 的距离 $\\mathrm{d}=\\frac{|\\mathrm{a}|}{\\sqrt{2}}$,\n\n即 $\\frac{a^{2}}{2}+3=a^{2}+2$,\n\n解得: $a^{2}=2$,\n\n故圆的半径 $r=2$.\n\n故圆的面积 $S=4 \\pi$,\n\n故答案为: $4 \\pi$\n",
            "index": 32,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "13. （5 分) 已知向量 $\\vec{a}=(m, 4), \\vec{b}=(3,-2)$, 且 $\\vec{a} / / \\vec{b}$, 则 $m=$\n",
            "answer": "-6\n",
            "analysis": "解: 向量 $\\vec{a}=(m, 4), \\vec{b}=(3,-2)$, 且 $\\vec{a} / / \\vec{b}$,\n\n可得 $12=-2 m$, 解得 $m=-6$.\n\n故答案为: -6 .\n",
            "index": 33,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "15. (5 分) $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\\cos A=\\frac{4}{5}, \\cos C=\\frac{5}{13}$ , $a=1$, 则 $b=$\n",
            "answer": "$\\frac{21}{13}$\n",
            "analysis": "解: 由 $\\cos A=\\frac{4}{5}, \\cos C=\\frac{5}{13}$, 可得\n\n$\\sin A=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\mathrm{~A}}=\\sqrt{1-\\frac{16}{25}}=\\frac{3}{5}$,\n\n$\\sin \\mathrm{C}=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\mathrm{C}}=\\sqrt{1-\\frac{25}{169}}=\\frac{12}{13}$,\n\n$\\sin B=\\sin (A+C)=\\sin A \\cos C+\\cos A \\sin C=\\frac{3}{5} \\times \\frac{5}{13}+\\frac{4}{5} \\times \\frac{12}{13}=\\frac{63}{65}$,\n\n由正弦定理可得 $b=\\frac{a \\sin B}{\\sin A}$\n\n$=\\frac{1 \\times \\frac{63}{65}}{\\frac{3}{5}}=\\frac{21}{13}$.\n\n故答案为: $\\frac{21}{13}$.\n",
            "index": 34,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "16. (5 分) 有三张卡片, 分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3 . 甲, 乙, 丙三人各 取走一张卡片, 甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2\", 乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”, 丙说： “我的卡 片上的数字之和不是 $5^{\\prime \\prime}$, 则甲的卡片上的数字是\n",
            "answer": "1 和 3\n",
            "analysis": "解：根据丙的说法知, 丙的卡片上写着 1 和 2 , 或 1 和 3 ;\n\n（1）若丙的卡片上写着 1 和 2 , 根据乙的说法知, 乙的卡片上写着 2 和 3; $\\therefore$ 根据甲的说法知, 甲的卡片上写着 1 和 3;\n\n（2）若丙的卡片上写着 1 和 3 , 根据乙的说法知, 乙的卡片上写着 2 和 3;\n\n又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是 2\";\n\n$\\therefore$ 甲的卡片上写的数字不是 1 和 2 , 这与已知矛盾;\n\n$\\therefore$ 甲的卡片上的数字是 1 和 3 .\n\n故答案为: 1 和 3 .\n",
            "index": 35,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "14. (5 分) 函数 $y=\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x$ 的图象可由函数 $y=2 \\sin x$ 的图象至少向右平 移 个单位长度得到.\n",
            "answer": "$\\frac{\\pi}{3}$.\n",
            "analysis": "解: $\\because y=\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x=2 \\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)$,\n\n令 $f(x)=2 \\sin x$,\n\n则 $f(x-\\phi)=2$ in $(x-\\phi) \\quad(\\phi>0)$,\n\n依题意可得 $2 \\sin (x-\\phi)=2 \\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)$,\n\n故 $-\\phi=2 k \\pi-\\frac{\\pi}{3} \\quad(k \\in Z)$,\n\n即 $\\phi=-2 k \\pi+\\frac{\\pi}{3} \\quad(k \\in Z)$,\n\n当 $k=0$ 时, 正数 $\\Phi_{\\min }=\\frac{\\pi}{3}$,\n\n故答案为: $\\frac{\\pi}{3}$.\n",
            "index": 36,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "15. (5 分) 已知直线 I: $x-\\sqrt{3} y+6=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=12$ 交于 $A$, $B$ 两点, 过 $A, B$ 分别作 $\\mid$ 的垂线与 $\\mathrm{x}$ 轴交于 $C, D$ 两点. 则 $|C D|=$\n",
            "answer": "4 .\n",
            "analysis": "解: 由题意, 圆心到直线的距离 $\\mathrm{d}=\\frac{6}{\\sqrt{1+3}}=3$,\n\n$\\therefore|A B|=2 \\sqrt{12-9}=2 \\sqrt{3}$\n\n$\\because$ 直线 $\\mid: x-\\sqrt{3} y+6=0$\n\n$\\therefore$ 直线 I 的倾斜角为 $30^{\\circ}$,\n\n$\\because$ 过 $A, B$ 分别作 $I$ 的垂线与 $x$ 轴交于 $C, D$ 两点,\n\n$\\therefore|\\mathrm{CD}|=\\frac{2 \\sqrt{3}}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}}=4$.\n\n故答案为: 4 .\n",
            "index": 37,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "16. (5 分) 已知 $f(x)$ 为偶函数, 当 $x \\leqslant 0$ 时, $f(x)=e^{-x-1}-x$, 则曲线 $y=f$ $(x)$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程是\n\n",
            "answer": "$y=2 x$.\n",
            "analysis": "解: 已知 $f(x)$ 为偶函数, 当 $x \\leqslant 0$ 时, $f(x)=e^{-x-1}-x$,\n\n设 $x>0$, 则 $-x<0$,\n\n$\\therefore f(x)=f(-x)=e^{x-1}+x$\n\n则 $f^{\\prime}(x)=e^{x-1}+1$, $f^{\\prime}(1)=e^{0}+1=2$\n\n$\\therefore$ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程是 $y-2=2(x-1)$.\n\n即 $y=2 x$.\n\n故答案为: $y=2 x$.\n",
            "index": 38,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "13. (5 分) 已知向量 $\\vec{a}=(-1,2), \\vec{b}=(m, 1)$, 若向量 $\\vec{a}+\\vec{b}$ 与 $\\vec{a}$ 垂直, 则 $m=$\n",
            "answer": "7\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 向量 $\\vec{a}=(-1,2), \\vec{b}=(m, 1)$,\n\n$\\therefore \\vec{a}+\\vec{b}=(-1+m, 3)$, $\\because$ 向量 $\\vec{a}+\\vec{b}$ 与 $\\vec{a}$ 垂直,\n\n$\\therefore(\\vec{a}+\\vec{b}) \\cdot \\vec{a}=(-1+m) \\times(-1)+3 \\times 2=0$,\n\n解得 $m=7$.\n\n故答案为: 7 .\n",
            "index": 39,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "14. (5 分) 曲线 $y=x^{2}+\\frac{1}{x}$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程为\n",
            "answer": "$x-y+1=0$\n",
            "analysis": "解: 曲线 $y=x^{2}+\\frac{1}{x}$, 可得 $y^{\\prime}=2 x-\\frac{1}{x^{2}}$,\n\n切线的斜率为: $k=2-1=1$.\n\n切线方程为: $y-2=x-1$, 即: $x-y+1=0$.\n\n故答案为: $x-y+1=0$.\n",
            "index": 40,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "15. (5 分）已知 $\\alpha \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), \\tan \\alpha=2$, 则 $\\cos \\left(\\alpha-\\frac{\\pi}{4}\\right)=$\n",
            "answer": "$\\frac{3 \\sqrt{10}}{10}$\n",
            "analysis": "解: $\\because \\alpha \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), \\tan \\alpha=2$,\n\n$\\therefore \\sin \\alpha=2 \\cos \\alpha$, $\\because \\sin ^{2} \\alpha+\\cos ^{2} \\alpha=1$\n\n解得 $\\sin \\alpha=\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}, \\cos \\alpha=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$,\n\n$\\therefore \\cos \\left(\\alpha-\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\cos \\alpha \\cos \\frac{\\pi}{4}+\\sin \\alpha \\sin \\frac{\\pi}{4}=\\frac{\\sqrt{5}}{5} \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}+\\frac{2 \\sqrt{5}}{5} \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\frac{3 \\sqrt{10}}{10}$,\n\n故答案为: $\\frac{3 \\sqrt{10}}{10}$\n",
            "index": 41,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "13. ( 5 分) 函数 $f(x)=2 \\cos x+\\sin x$ 的最大值为\n",
            "answer": "$\\sqrt{5}$\n",
            "analysis": "解：函数 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})=2 \\cos x+\\sin x=\\sqrt{5}\\left(\\frac{2 \\sqrt{5}}{5} \\cos x+\\frac{\\sqrt{5}}{5} \\sin x\\right)=\\sqrt{5} \\sin (x+\\theta)$, 其中 $\\tan \\theta=2$,\n\n可知函数的最大值为: $\\sqrt{5}$.\n\n故答案为: $\\sqrt{5}$.\n",
            "index": 42,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "14. （5 分）已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 当 $x \\in(-\\infty, 0)$ 时, $f($ x) $=2 x^{3}+x^{2}$, 则 $f(2)=$\n",
            "answer": "12\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 当 $x \\in(-\\infty, 0)$ 时, $f(x)=2 x^{3}+x^{2}$,\n\n$\\therefore f(-2)=-12$,\n\n又 $\\because$ 函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数,\n\n$\\therefore f(2)=12$,\n\n故答案为: 12\n",
            "index": 43,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "15. （5 分）长方体的长、宽、高分别为 $3,2 ， 1$, 其顶点都在球 $\\mathrm{O}$ 的球面上, 则球 $\\mathrm{O}$ 的表面积为\n",
            "answer": "$14 \\pi$\n",
            "analysis": "解：长方体的长、宽、高分别为 $3,2,1$, 其顶点都在球 $\\mathrm{O}$ 的球面上, 可知长方体的对角线的长就是球的直径,\n\n所以球的半径为: $\\frac{1}{2} \\sqrt{3^{2}+2^{2}+1^{2}}=\\frac{\\sqrt{14}}{2}$.\n\n则球 $O$ 的表面积为: $4 \\times\\left(\\frac{\\sqrt{14}}{2}\\right)^{2} \\pi=14 \\pi$.\n\n故答案为: $14 \\pi$.\n",
            "index": 44,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "16. (5 分) $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $2 b \\cos B=a \\cos C+\\cos A$ , 则 $B=$\n",
            "answer": "$\\frac{\\pi}{3}$\n",
            "analysis": "解: $\\because 2 \\mathrm{~b} \\cos \\mathrm{B}=\\mathrm{a} \\cos \\mathrm{C}+\\cos \\mathrm{A}$, 由正弦定理可得,\n\n$2 \\cos B \\sin B=\\sin A \\cos C+\\sin C \\cos A=\\sin (A+C)=\\sin B$,\n\n$\\because \\sin \\mathrm{B} \\neq 0$,\n\n$\\therefore \\cos B=\\frac{1}{2}$,\n\n$\\because 0<\\mathrm{B}<\\pi$\n\n$\\therefore B=\\frac{\\pi}{3}$\n\n故答案为: $\\frac{\\pi}{3}$\n",
            "index": 45,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "13. (5 分) 已知向量 $\\vec{a}=(-2,3), \\vec{b}=(3, m)$, 且 $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$, 则 $m=$\n",
            "answer": "2 .\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 向量 $\\vec{a}=(-2,3), \\vec{b}=(3, m)$, 且 $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$, $\\therefore \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=-6+3 m=0$\n\n解得 $m=2$.\n\n故答案为: 2 .\n",
            "index": 46,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "14. (5 分) 双曲线 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\\frac{3}{5} x$, 则 $a=$\n",
            "answer": "5 .\n",
            "analysis": "解: 双曲线 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\\frac{3}{5} x$, 可得 $\\frac{3}{a}=\\frac{3}{5}$, 解得 $a=5$.\n\n故答案为: 5 .\n",
            "index": 47,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "15. (5 分) $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $C=60^{\\circ}, b=\\sqrt{6}$, $c=3$, 则 $A=$\n",
            "answer": "$75^{\\circ}$.\n",
            "analysis": "解：根据正弦定理可得 $\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin \\mathrm{C}}, C=60^{\\circ}, b=\\sqrt{6}, c=3$, $\\therefore \\sin B=\\frac{\\sqrt{6} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}}{3}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$,\n\n$\\because \\mathrm{b}<\\mathrm{c}$\n\n$\\therefore \\mathrm{B}=45^{\\circ}$\n\n$\\therefore \\mathrm{A}=180^{\\circ}-\\mathrm{B}-\\mathrm{C}=180^{\\circ}-45^{\\circ}-60^{\\circ}=75^{\\circ}$,\n\n故答案为: $75^{\\circ}$.\n",
            "index": 48,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "16. (5 分) 设函数 $f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x+1, & x \\leqslant 0 \\\\ 2^{x}, & x>0\\end{array}\\right.$, 则满足 $f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$ 的 $x$ 的 取值范围是\n\n",
            "answer": "$\\left(-\\frac{1}{4},+\\infty\\right)$.\n",
            "analysis": "解: 若 $x \\leqslant 0$, 则 $x-\\frac{1}{2} \\leqslant-\\frac{1}{2}$,\n\n则 $f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$ 等价为 $x+1+x-\\frac{1}{2}+1>1$, 即 $2 x>-\\frac{1}{2}$, 则 $x>-\\frac{1}{4}$, 此时 $-\\frac{1}{4}<x \\leqslant 0$,\n\n当 $x>0$ 时, $f(x)=2^{x}>1, x-\\frac{1}{2}>-\\frac{1}{2}$,\n\n当 $x-\\frac{1}{2}>0$ 即 $x>\\frac{1}{2}$ 时, 满足 $f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$ 恒成立,\n\n当 $0 \\geqslant x-\\frac{1}{2}>-\\frac{1}{2}$, 即 $\\frac{1}{2} \\geqslant x>0$ 时, $f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)=x-\\frac{1}{2}+1=x+\\frac{1}{2}>\\frac{1}{2}$,\n\n此时 $f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$ 恒成立,\n\n综上 $x>-\\frac{1}{4}$,\n\n故答案为: $\\left(-\\frac{1}{4},+\\infty\\right)$.\n",
            "index": 49,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "13. （5 分) 已知函数 $f(x)=\\log _{2}\\left(x^{2}+a\\right)$, 若 $f(3)=1$, 则 $a=$\n",
            "answer": "-7\n",
            "analysis": "解: 函数 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})=\\log _{2}\\left(\\mathrm{x}^{2}+\\mathrm{a}\\right)$, 若 $\\mathrm{f}(3)=1$,\n\n可得: $\\log _{2}(9+a)=1$, 可得 $a=-7$.\n\n故答案为: -7 .\n",
            "index": 50,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "15. (5 分）直线 $y=x+1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+2 y-3=0$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $|A B|=$\n",
            "answer": "$2 \\sqrt{2}$\n",
            "analysis": "解：圆 $x^{2}+y^{2}+2 y-3=0$ 的圆心 $(0,-1)$, 半径为: 2 ,\n\n圆心到直线的距离为: $\\frac{|0+1+1|}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{2}$,\n\n所以 $|A B|=2 \\sqrt{2^{2}-(\\sqrt{2})^{2}}=2 \\sqrt{2}$.\n\n故答案为: $2 \\sqrt{2}$.\n",
            "index": 51,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "16. (5 分) $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 已知 $b \\sin C+c \\sin B=4 a \\sin B \\sin C, b^{2}+c^{2}-a^{2}=8$, 则 $\\triangle A B C$ 的面积为\n",
            "answer": "$\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$\n",
            "analysis": "解: $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$.\n\n$b \\sin C+c \\sin B=4 a \\sin B \\sin C$,\n\n利用正弦定理可得 $\\sin B \\sin C+\\sin C \\sin B=4 \\sin A \\sin B \\sin C$,\n\n由于 $0<B<\\pi, 0<C<\\pi$ ，\n\n所以 $\\sin B \\sin C \\neq 0$,\n\n所以 $\\sin A=\\frac{1}{2}$,\n\n则 $A=\\frac{\\pi}{6}$ 或 $\\frac{5 \\pi}{6}$\n\n由于 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=8$,\n\n则: $\\cos \\mathrm{a}=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$,\n\n(1)当 $A=\\frac{\\pi}{6}$ 时, $\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{8}{2 b c}$,\n\n解得 $\\mathrm{bc}=\\frac{8 \\sqrt{3}}{3}$,\n\n所以 $S_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} b \\operatorname{csin} A=\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$.\n\n(2)当 $\\mathrm{A}=\\frac{5 \\pi}{6}$ 时, $-\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{8}{2 \\mathrm{bc}}$,\n\n解得 $b c=-\\frac{8 \\sqrt{3}}{3}$ (不合题意), 舍去.\n\n故: $S_{\\triangle A B C}=\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$.\n\n故答案为: $\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$.\n",
            "index": 52,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "13. (5 分) 曲线 $y=2 \\ln x$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程为\n",
            "answer": "$y=2 x-2$\n",
            "analysis": "解: $\\because y=2 \\ln x$,\n\n$\\therefore y^{\\prime}=\\frac{2}{x}$,\n\n当 $x=1$ 时,$y^{\\prime}=2$\n\n$\\therefore$ 曲线 $y=2 \\ln x$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程为 $y=2 x-2$.\n\n故答案为: $y=2 x-2$.\n",
            "index": 53,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "15. (5 分) 已知 $\\tan \\left(\\alpha-\\frac{5 \\pi}{4}\\right)=\\frac{1}{5}$, 则 $\\tan \\alpha=$\n",
            "answer": "$\\frac{3}{2}$\n",
            "analysis": "解: $\\because \\tan \\left(\\alpha-\\frac{5 \\pi}{4}\\right)=\\frac{1}{5}$,\n\n$\\therefore \\tan \\left(\\alpha-\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{1}{5}$\n\n则 $\\tan \\alpha=\\tan \\left(\\alpha-\\frac{\\pi}{4}+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{\\tan \\left(\\alpha-\\frac{\\pi}{4}\\right)+\\tan \\frac{\\pi}{4}}{1-\\tan \\left(\\alpha-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\tan \\frac{\\pi}{4}}=\\frac{\\frac{1}{5}+1}{1-\\frac{1}{5} \\times 1}=\\frac{1+5}{5-1}=\\frac{6}{4}=\\frac{3}{2}$,\n\n故答案为: $\\frac{3}{2}$.\n",
            "index": 54,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "16. (5 分) 已知圆雉的顶点为 $S$, 母线 $S A, S B$ 互相垂直, $S A$ 与圆雉底面所成 角为 $30^{\\circ}$. 若 $\\triangle S A B$ 的面积为 8 , 则该圆雉的体积为\n",
            "answer": "$8 \\pi$\n",
            "analysis": "解: 圆雉的顶点为 $S$, 母线 $S A, S B$ 互相垂直, $\\triangle S A B$ 的面积为 8 , 可得 $: \\frac{1}{2} S^{2}=8$, 解得 $\\mathrm{SA}=4$,\n\n$\\mathrm{SA}$ 与圆锥底面所成角为 $30^{\\circ}$. 可得圆锥的底面半径为: $2 \\sqrt{3}$, 圆雉的高为: 2 , 则该圆锥的体积为: $V=\\frac{1}{3} \\times \\pi \\times(2 \\sqrt{3})^{2} \\times 2=8 \\pi$.\n\n故答案为: $8 \\pi$.\n",
            "index": 55,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "13. (5 分) 已知向量 $\\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(2,-2), \\vec{c}=(1, \\lambda)$. 若 $\\vec{c} / /(2 \\vec{a}+\\vec{b})$, 则 $\\lambda=$\n",
            "answer": "$\\frac{1}{2}$.\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 向量 $\\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(2,-2)$,\n\n$\\therefore 2 \\overrightarrow{\\mathrm{a}}+\\overrightarrow{\\mathrm{b}}=(4,2)$\n\n$\\because \\vec{c}=(1, \\lambda), \\quad \\vec{c} / / \\quad(2 \\vec{a}+\\vec{b})$\n\n$\\therefore \\frac{1}{4}=\\frac{\\lambda}{2}$\n\n解得 $\\lambda=\\frac{1}{2}$.\n\n故答案为: $\\frac{1}{2}$.\n",
            "index": 56,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "14. (5 分) 某公司有大量客户, 且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异. 为 了解客户的评价, 该公司准备进行抽样调查, 可供选择的抽样方法有简单随 机抽样、分层抽样和系统抽样, 则最合适的抽样方法是\n",
            "answer": "分层抽样.\n",
            "analysis": "解: 某公司有大量客户, 且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异, 为了解客户的评价, 该公司准备进行抽样调查,\n\n可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,\n\n则最合适的抽样方法是分层抽样.\n\n故答案为: 分层抽样.\n",
            "index": 57,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "16. (5 分) 已知函数 $f(x)=\\ln \\left(\\sqrt{1+x^{2}}-x\\right)+1, f(a)=4$, 则 $f(-a)=$\n",
            "answer": "-2 .\n",
            "analysis": "解：函数 $g(x)=\\ln \\left(\\sqrt{1+x^{2}}-x\\right)$\n\n满足 $g(-x)=\\ln \\left(\\sqrt{1+x^{2}}+x\\right)=\\ln \\frac{1}{\\sqrt{1+x^{2}}-x}=-\\ln \\left(\\sqrt{1+x^{2}}-x\\right)=-g(x)$, 所以 $g(x)$ 是奇函数.\n\n函数 $f(x)=\\ln \\left(\\sqrt{1+x^{2}}-x\\right)+1, f(a)=4$,\n\n可得 $f(a)=4=\\ln \\left(\\sqrt{1+a^{2}}-a\\right)+1$, 可得 $\\ln \\left(\\sqrt{1+a^{2}}-a\\right)=3$,\n\n则 $f(-a)=-\\ln \\left(\\sqrt{1+a^{2}}-a\\right)+1=-3+1=-2$. 故答案为: -2 .\n",
            "index": 58,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "13. 曲线 $y=3\\left(x^{2}+x\\right) \\mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为\n",
            "answer": "$3 x-y=0$.\n",
            "analysis": "【详解】详解: $y^{\\prime}=3(2 x+1) e^{x}+3\\left(x^{2}+x\\right) e^{x}=3\\left(x^{2}+3 x+1\\right) e^{x}$,\n\n所以, $k=\\left.y^{\\prime}\\right|_{x=0}=3$\n\n所以, 曲线 $y=3\\left(x^{2}+x\\right) \\mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=3 x$, 即 $3 x-y=0$.\n",
            "index": 59,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{1}=1, S_{3}=\\frac{3}{4}$, 则 $S_{4}=$\n",
            "answer": "$\\frac{5}{8}$.\n",
            "analysis": "【详解】详解: 设等比数列的公比为 $q$, 由已知 $S_{3}=a_{1}+a_{1} q+a_{1} q^{2}=1+q+q^{2}=\\frac{3}{4}$, 即 $q^{2}+q+\\frac{1}{4}=0$\n\n解得 $q=-\\frac{1}{2}$,\n\n所以 $S_{4}=\\frac{a_{1}\\left(1-q^{4}\\right)}{1-q}=\\frac{1-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{4}}{1-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)}=\\frac{5}{8}$.\n",
            "index": 60,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "15. 函数 $f(x)=\\sin \\left(2 x+\\frac{3 \\pi}{2}\\right)-3 \\cos x$ 的最小值为\n",
            "answer": "-4 .\n",
            "analysis": "【详解】\n\n$f(x)=\\sin \\left(2 x+\\frac{3 \\pi}{2}\\right)-3 \\cos x=-\\cos 2 x-3 \\cos x=-2 \\cos ^{2} x-3 \\cos x+1$\n\n$=-2\\left(\\cos x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{17}{8}$\n\n$\\because-1 \\leq \\cos x \\leq 1, \\therefore$ 当 $\\cos x=1$ 时, $f_{\\text {min }}(x)=-4$,\n\n故函数 $f(x)$ 的最小值为 -4 .\n",
            "index": 61,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "14.我国高铁发展迅速, 技术先进. 经统计, 在经停某站的高铁列车中, 有 10 个车次的正点 率为 0.97 , 有 20 个车次的正点率为 0.98 , 有 10 个车次的正点率为 0.99 , 则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为\n",
            "answer": "0. 98.\n",
            "analysis": "【详解】由题意得, 经停该高铁站的列车正点数约为 $10 \\times 0.97+20 \\times 0.98+10 \\times 0.99=39.2$, 其中高铁个数为 $10+20+10=40$, 所以该站所有高 铁平均正点率约为 $\\frac{39.2}{40}=0.98$.\n",
            "index": 62,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "question": "15. $\\bigvee A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 已知 $b \\sin A+a \\cos B=0$, 则 $B=$\n",
            "answer": "$\\frac{3 \\pi}{4}$\n",
            "analysis": "【详解】由正弦定理, 得 $\\sin B \\sin A+\\sin A \\cos B=0 \\therefore A \\in(0, \\pi), B \\in(0, \\pi), \\therefore \\sin A \\neq 0$, 得 $\\sin B+\\cos B=0$, 即 $\\tan B=-1, \\therefore B=\\frac{3 \\pi}{4}$. 故选 D.\n",
            "index": 63,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "13.已知向量 $\\vec{a}=(2,2), \\vec{b}=(-8,6)$, 则 $\\cos \\langle\\vec{a}, \\vec{b}\\rangle=$\n",
            "answer": "$-\\frac{\\sqrt{2}}{10}$\n",
            "analysis": "【详解】详解: $\\cos \\langle\\vec{a}, \\vec{b}\\rangle=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}| \\cdot|\\vec{b}|}=\\frac{2 \\times(-8)+2 \\times 6}{\\sqrt{2^{2}+2^{2}} \\times \\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}}=-\\frac{\\sqrt{2}}{10}$.\n",
            "index": 64,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "14. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $a_{3}=5, a_{7}=13$, 则 $S_{10}=$\n",
            "answer": "100\n",
            "analysis": "【详解】详解: $\\left\\{\\begin{array}{l}a_{3}=a_{1}+2 d=5 \\\\ a_{7}=a_{1}+6 d=13\\end{array}\\right.$,得 $\\left\\{\\begin{array}{l}a_{1}=1 \\\\ d=2\\end{array}\\right.$, $\\therefore S_{10}=10 a_{1}+\\frac{10 \\times 9}{2} d=10 \\times 1+\\frac{10 \\times 9}{2} \\times 2=100$.\n",
            "index": 65,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "question": "15. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{36}+\\frac{y^{2}}{20}=1$ 的两个焦点, $M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限. 若 $\\triangle M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形, 则 $M$ 的坐标为\n",
            "answer": "$(3, \\sqrt{15})$\n",
            "analysis": "【详 解 】由已知 可 得 $a^{2}=36, b^{2}=36, \\therefore c^{2}=a^{2}-b^{2}=16, \\therefore c=4$ ，\n\n$\\therefore\\left|M F_{1}\\right|=\\left|F_{1} F_{2}\\right|=2 c=8$.\n\n$\\because\\left|M F_{1}\\right|+\\left|M F_{2}\\right|=2 a=12,\\left|M F_{2}\\right|=4$\n\n设点 $M$ 的坐标为 $\\left(x_{0}, y_{0}\\right)\\left(x_{0}>0, y_{0}>0\\right)$, 则 $S_{\\triangle M F_{1} F_{2}}=\\frac{1}{2} \\cdot\\left|F_{1} F_{2}\\right| \\cdot y_{0}=4 y_{0}$,\n\n又 $S_{\\triangle M F_{1} F_{2}}=\\frac{1}{2} \\times 4 \\times \\sqrt{8^{2}-2^{2}}=4 \\sqrt{15}, \\therefore 4 y_{0}=4 \\sqrt{15}$, 解得 $y_{0}=\\sqrt{15}$,\n\n$\\therefore \\frac{x_{0}^{2}}{36}+\\frac{(\\sqrt{15})^{2}}{20}=1$, 解得 $x_{0}=3 \\quad$ ( $x_{0}=-3$ 舍去),\n\n$\\backslash M$ 的坐标为 $(3, \\sqrt{15})$.\n",
            "index": 66,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "question": "14. 设双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线为 $y=\\sqrt{2} x$, 则 $C$ 的离心率为\n",
            "answer": "$\\sqrt{3}$\n",
            "analysis": "【详解】由双曲线方程 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 可得其焦点在 $x$ 轴上，\n\n因为其一条渐近线为 $y=\\sqrt{2} x$,\n\n所以 $\\frac{b}{a}=\\sqrt{2}, e=\\frac{c}{a}=\\sqrt{1+\\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\\sqrt{3}$.\n\n故答案为: $\\sqrt{3}$\n",
            "index": 67,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "question": "15. 设函数 $f(x)=\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x+a}$. 若 $f^{\\prime}(1)=\\frac{e}{4}$, 则 $a=$\n",
            "answer": "1\n",
            "analysis": "【详解】由函数的解析式可得: $f^{\\prime}(x)=\\frac{e^{x}(x+a)-e^{x}}{(x+a)^{2}}=\\frac{e^{x}(x+a-1)}{(x+a)^{2}}$,\n\n则: $f^{\\prime}(1)=\\frac{e^{1} \\times(1+a-1)}{(1+a)^{2}}=\\frac{a e}{(a+1)^{2}}$, 据此可得: $\\frac{a e}{(a+1)^{2}}=\\frac{e}{4}$,\n\n整理可得: $a^{2}-2 a+1=0$, 解得： $a=1$.\n\n故答案为: 1 .\n",
            "index": 68,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "question": "14. 设向量 $\\boldsymbol{a}=(1,-1), \\boldsymbol{b}=(m+1,2 m-4)$, 若 ${ }^{\\prime} a \\perp b^{\\prime}$, 则 $m=$\n",
            "answer": "5\n",
            "analysis": "【详解】由 ${ }^{\\prime} a \\perp b$\n\n又因为 $\\vec{a}=(1,-1), \\vec{b}=(m+1,2 m-4)$,\n\n所以 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=1 \\cdot(m+1)+(-1) \\cdot(2 m-4)=0$ ，\n\n即 $m=5$ ，\n\n故答案为: 5 .\n",
            "index": 69,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "question": "15. 曲线 $y=\\ln x+x+1$ 的一条切线的斜率为 2 , 则该切线的方程为\n",
            "answer": "$y=2 x$\n",
            "analysis": "【详解】设切线的切点坐标为 $\\left(x_{0}, y_{0}\\right), y=\\ln x+x+1, y^{\\prime}=\\frac{1}{x}+1$,\n\n$\\left.y^{\\prime}\\right|_{x=x_{0}}=\\frac{1}{x_{0}}+1=2, x_{0}=1, y_{0}=2$, 所以切点坐标为 $(1,2)$,\n\n所求的切线方程为 $y-2=2(x-1)$, 即 $y=2 x$.\n\n故答案为: $y=2 x$.\n",
            "index": 70,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "question": "16. 数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^{n} a_{n}=3 n-1$, 前 16 项和为 540 , 则 $a_{1}=$\n",
            "answer": "7\n",
            "analysis": "【详解】 $a_{n+2}+(-1)^{n} a_{n}=3 n-1$,\n\n当 $n$ 为奇数时, $a_{n+2}=a_{n}+3 n-1$; 当 $n$ 为偶数时, $a_{n+2}+a_{n}=3 n-1$.\n\n设数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$,\n\n$S_{16}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\\cdots+a_{16}$\n\n$=a_{1}+a_{3}+a_{5} \\cdots+a_{15}+\\left(a_{2}+a_{4}\\right)+\\cdots\\left(a_{14}+a_{16}\\right)$\n\n$=a_{1}+\\left(a_{1}+2\\right)+\\left(a_{1}+10\\right)+\\left(a_{1}+24\\right)+\\left(a_{1}+44\\right)+\\left(a_{1}+70\\right)$\n\n$+\\left(a_{1}+102\\right)+\\left(a_{1}+140\\right)+(5+17+29+41)$ $=8 a_{1}+392+92=8 a_{1}+484=540$,\n\n$\\therefore a_{1}=7$.\n\n故答案为: 7 .\n",
            "index": 71,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "question": "13. 若 $\\sin x=-\\frac{2}{3}$, 则 $\\cos 2 x=$\n",
            "answer": "$\\frac{1}{9}$\n",
            "analysis": "【详解】 $\\cos 2 x=1-2 \\sin ^{2} x=1-2 \\times\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^{2}=1-\\frac{8}{9}=\\frac{1}{9}$.\n\n故答案为: $\\frac{1}{9}$.\n",
            "index": 72,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "question": "14. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{1}=-2, a_{2}+a_{6}=2$, 则 $S_{10}=$\n",
            "answer": "25\n",
            "analysis": "【详解】 $\\because\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列, 且 $a_{1}=-2, a_{2}+a_{6}=2$\n\n设 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 等差数列的公差 $d$\n\n根据等差数列通项公式: $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$\n\n可得 $a_{1}+d+a_{1}+5 d=2$\n\n即: $-2+d+(-2)+5 d=2$ 整理可得: $6 d=6$\n\n解得: $d=1$\n\n$\\because$ 根据等差数列前 $n$ 项和公式: $S_{n}=n a_{1}+\\frac{n(n-1)}{2} d, n \\in N^{*}$\n\n可得: $S_{10}=10(-2)+\\frac{10 \\times(10-1)}{2}=-20+45=25$\n\n$\\therefore S_{10}=25$.\n\n故答案为: 25 .\n",
            "index": 73,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "question": "13. 若向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 满足 $|\\vec{a}|=3,|\\vec{a}-\\vec{b}|=5, \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=1$, 则 $|\\vec{b}|=$\n",
            "answer": "$3 \\sqrt{2}$\n",
            "analysis": "【详解】 $\\because|\\vec{a}-\\vec{b}|=5$\n\n$\\therefore|\\vec{a}-\\vec{b}|^{2}=\\vec{a}^{2}+\\vec{b}^{2}-2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=9+|\\vec{b}|^{2}-2=25$\n\n$\\therefore|b|=3 \\sqrt{2}$.\n\n故答案为: $3 \\sqrt{2}$.\n",
            "index": 74,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "question": "16. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{16}+\\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点, $P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点, 且 $|P Q|=\\left|F_{1} F_{2}\\right|$, 则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为\n",
            "answer": "8\n",
            "analysis": "【详解】因为 $P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点,\n\n且 $|P Q|=\\left|F_{1} F_{2}\\right|$, 所以四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 为矩形,\n\n设 $\\left|P F_{1}\\right|=m,\\left|P F_{2}\\right|=n$, 则 $m+n=8, m^{2}+n^{2}=48$,\n\n所以 $64=(m+n)^{2}=m^{2}+2 m n+n^{2}=48+2 m n$,\n\n$m n=8$, 即四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 面积等于 8 .\n\n故答案为: 8 .\n",
            "index": 75,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "13.已知向量 $\\vec{a}=(2,5), \\vec{b}=(\\lambda, 4)$, 若 $\\vec{a} / / \\vec{b}$, 则 $\\lambda=$\n",
            "answer": "$\\frac{8}{5}$\n",
            "analysis": "解析:\n\n由已知 $\\vec{a} / / \\vec{b}$ 可得 $2 \\times 4=5 \\lambda \\Rightarrow \\lambda=\\frac{8}{5}$.\n",
            "index": 76,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "14. 双曲线 $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点到直线 $x+2 y-8=0$ 的距离为\n",
            "answer": "$\\sqrt{5}$\n",
            "analysis": "解析:\n\n$\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点为 $(3,0)$, 到直线 $x+2 y-8=0$ 的距离 $d=\\frac{|3-8|}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\\sqrt{5}$.\n",
            "index": 77,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "question": "15. 记 $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 面积为 $\\sqrt{3}$,\n\n$B=60^{\\circ}, a^{2}+c^{2}=3 a c$, 则 $b=$\n",
            "answer": "$2 \\sqrt{2}$\n",
            "analysis": "解析:\n\n由面积公式 $S=\\frac{1}{2} a c \\sin B=\\sqrt{3}$, 且 $B=60^{\\circ}$, 解得 $a c=4$,\n\n又由余弦定理 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \\cos B, a^{2}+c^{2}=3 a c$, 且 $b>0$\n\n解得 $b=2 \\sqrt{2}$.\n",
            "index": 78,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "question": "13. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $2 S_{3}=3 S_{2}+6$, 则公差 $d=$\n",
            "answer": "2\n",
            "analysis": "【详解】由 $2 S_{3}=3 S_{2}+6$ 可得 $2\\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\\right)=3\\left(a_{1}+a_{2}\\right)+6$, 化简得 $2 a_{3}=a_{1}+a_{2}+6$, 即 $2\\left(a_{1}+2 d\\right)=2 a_{1}+d+6$, 解得 $d=2$.\n\n故答案为: 2 .\n",
            "index": 79,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "question": "14. 从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作, 则甲、乙都人选的概率为\n",
            "answer": "$\\frac{3}{10} \\# \\# 0.3$\n",
            "analysis": "【详解】从 5 名同学中随机选 3 名的方法数为 $\\mathrm{C}_{5}^{3}=10$\n\n甲、乙都人选的方法数为 $\\mathrm{C}_{3}^{1}=3$, 所以甲、乙都人选的概率 $P=\\frac{3}{10}$\n\n故答案为: $\\frac{3}{10}$\n",
            "index": 80,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "question": "15. 过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为\n",
            "answer": "$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$ 或 $\\left(x-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{7}{3}\\right)^{2}=\\frac{65}{9}$ 或 $\\left(x-\\frac{8}{5}\\right)^{2}+(y-1)^{2}=\\frac{169}{25}$\n",
            "analysis": "【详解】 解: 依题意设圆的方程为 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$,\n\n若过 $(0,0),(4,0), \\quad(-1,1)$, 则 $\\left\\{\\begin{array}{l}F=0 \\\\ 16+4 D+F=0 \\\\ 1+1-D+E+F=0\\end{array}\\right.$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}F=0 \\\\ D=-4 \\\\ E=-6\\end{array}\\right.$,\n\n所以圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-4 x-6 y=0$, 即 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$;\n\n若过 $(0,0),(4,0),(4,2), \\quad$ 则 $\\left\\{\\begin{array}{l}F=0 \\\\ 16+4 D+F=0 \\\\ 16+4+4 D+2 E+F=0\\end{array}\\right.$ ，解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}F=0 \\\\ D=-4 \\\\ E=-2\\end{array}\\right.$,\n\n所以圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y=0$, 即 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$;\n\n若过 $(0,0),(4,2), \\quad(-1,1)$, 则 $\\left\\{\\begin{array}{l}F=0 \\\\ 1+1-D+E+F=0 \\\\ 16+4+4 D+2 E+F=0\\end{array}\\right.$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}F=0 \\\\ D=-\\frac{8}{3} \\\\ E=-\\frac{14}{3}\\end{array}\\right.$,\n\n所以圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-\\frac{8}{3} x-\\frac{14}{3} y=0$, 即 $\\left(x-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{7}{3}\\right)^{2}=\\frac{65}{9}$;\n\n若过 $(-1,1),(4,0),(4,2)$, 则 $\\left\\{\\begin{array}{l}1+1-D+E+F=0 \\\\ 16+4 D+F=0 \\\\ 16+4+4 D+2 E+F=0\\end{array}\\right.$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}F=-\\frac{16}{5} \\\\ D=-\\frac{16}{5} \\text {, } \\\\ E=-2\\end{array}\\right.$\n\n所以圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-\\frac{16}{5} x-2 y-\\frac{16}{5}=0$, 即 $\\left(x-\\frac{8}{5}\\right)^{2}+(y-1)^{2}=\\frac{169}{25}$;\n\n故答案为: $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$ 或 $\\left(x-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{7}{3}\\right)^{2}=\\frac{65}{9}$ 或 $\\left(x-\\frac{8}{5}\\right)^{2}+(y-1)^{2}=\\frac{169}{25}$ ；\n",
            "index": 81,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "question": "16. 若 $f(x)=\\ln \\left|a+\\frac{1}{1-x}\\right|+b$ 是奇函数, 则 $a=$\n\n$b=$\n",
            "answer": "(1). $-\\frac{1}{2} ; \\quad$ (2). $\\ln 2$.\n",
            "analysis": "【详解】因为函数 $f(x)=\\ln \\left|a+\\frac{1}{1-x}\\right|+b$ 为奇函数, 所以其定义域关于原点对称.\n\n由 $a+\\frac{1}{1-x} \\neq 0$ 可得, $(1-x)(a+1-a x) \\neq 0$, 所以 $x=\\frac{a+1}{a}=-1$, 解得: $a=-\\frac{1}{2}$, 即函 数的定义域为 $(-\\infty,-1) \\cup(-1,1) \\cup(1,+\\infty)$, 再由 $f(0)=0$ 可得, $b=\\ln 2$. 即 $f(x)=\\ln \\left|-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{1-x}\\right|+\\ln 2=\\ln \\left|\\frac{1+x}{1-x}\\right|$, 在定义域内满足 $f(-x)=-f(x)$, 符合题意. 故答案为: $-\\frac{1}{2} ; \\ln 2$.\n",
            "index": 82,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "question": "13. 已知向量 $\\vec{a}=(m, 3), \\vec{b}=(1, m+1)$. 若 $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$, 则 $m=$\n",
            "answer": "$-\\frac{3}{4} \\# \\#-0.75$\n",
            "analysis": "【详解】由题意知: $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=m+3(m+1)=0$, 解得 $m=-\\frac{3}{4}$.\n\n故答案为: $-\\frac{3}{4}$.\n",
            "index": 83,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "question": "14. 设点 $M$ 在直线 $2 x+y-1=0$ 上, 点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在 $\\odot M$ 上, 则 $\\odot M$ 的方程为\n",
            "answer": "$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$\n",
            "analysis": "【详解】解: $\\because$ 点 $M$ 在直线 $2 x+y-1=0$ 上,\n\n$\\therefore$ 设点 $M$ 为 $(a, 1-2 a)$, 又因为点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在 $\\odot M$ 上,\n\n$\\therefore$ 点 $M$ 到两点的距离相等且为半径 $R$,\n\n$\\therefore \\sqrt{(a-3)^{2}+(1-2 a)^{2}}=\\sqrt{a^{2}+(-2 a)^{2}}=R$,\n\n$a^{2}-6 a+9+4 a^{2}-4 a+1=5 a^{2}$, 解得 $a=1$,\n\n$\\therefore M(1,-1), \\quad R=\\sqrt{5}$\n\n$\\odot M$ 的方程为 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$.\n\n故答案为: $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$\n",
            "index": 84,
            "score": 5
        },
        {
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "question": "15. 记双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $e$, 写出满足条件“直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公 共点”的 $e$ 的一个值\n",
            "answer": "2 (满足 $1<e \\leq \\sqrt{5}$ 皆可)\n",
            "analysis": "【详解】解: $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$, 所以 $C$ 的渐近线方程为 $y= \\pm \\frac{b}{a} x$, 结合渐近线的特点, 只需 $0<\\frac{b}{a} \\leq 2$, 即 $\\frac{b^{2}}{a^{2}} \\leq 4$,\n\n可满足条件“直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共点”\n\n所以 $e=\\frac{c}{a}=\\sqrt{1+\\frac{b^{2}}{a^{2}}} \\leq \\sqrt{1+4}=\\sqrt{5}$,\n\n又因为 $e>1$, 所以 $1<e \\leq \\sqrt{5}$,\n\n故答案为: 2 (满足 $1<e \\leq \\sqrt{5}$ 皆可)\n",
            "index": 85,
            "score": 5
        }
    ]
}
